论文摘要：代数簇的隐式和参数表示的计算与应用

参数形式和隐式形式是计算机辅助几何造型和设计中曲线与曲面的两种主要表示方式. 在几何造型计算中, 参数形式与隐式形式各有不同的优势与不足. 人们通常需要根据具体问题选择便利的曲线与曲面的表示方式. 由此引发的一些基本几何计算, 如参数化、隐式化、求交等, 日渐受到众多学者的关注, 并成为几何计算研究的核心问题. 本文研究较曲线曲面更一般的几何对象, 代数簇的参数表示和隐式表示的计算与应用, 主要包括以下三个方面的工作: 计算参数曲面的交与自交, 研究空间曲线的有理参数化在求解一阶自治微分系统中的应用, 以及超曲面的正则参数化在计算高阶代数微分方程有理通解中的应用.在第三章中, 我们提出两种有效且通用的计算参数曲面交与自交参数轨迹的符号方法. 方法之一, 基于正则系统, 能够计算交与自交的精确参数轨迹, 从而使得伪交点和伪自交点能够被检测; 另一种方法, 基于 Groebner 基, 能够计算包含交与自交精确参数轨迹的最小代数簇. 我们还建立这两种方法计算出的结果之间的关系: 最小代数簇是精确参数轨迹的 Zariski 闭包. 基于上述方法及结论, 我们给出计算交与自交精确参数轨迹和最小代数簇的算法以及一个简化正则系统的子算法, 并证明简化子算法的正确性和终止性. 实验结果和与已有方法的比较表明, 我们的算法性能良好, 有一定的优越性.基于不变代数空间曲线的定义和其参数表示的一些性质, 本文的第四章给出一种计算一阶自治微分系统有理通解的方法. 这项工作是 Ngo 和 Winkler 对平面自治微分系统有理通解的研究的延伸. 更确切地说, 我们给出不变代数空间曲线的定义, 并介绍如何用待定系数法计算不变代数空间曲线. 然后基于对不变代数空间曲线的重新参数化, 我们给出一阶自治微分系统存在有理解的充分必要条件. 根据有理通解的性质, 我们又给出一个判定有理解是否为有理通解的准则. 我们还建立有理首次积分和不变代数空间曲线之间的关系, 并从首次积分的角度刻画一阶自治微分系统的有理通解.第五章提出一种计算高阶代数微分方程有理通解的方法. 它是 Ngo 和 Winkler 计算一阶非自治微分方程有理通解方法的推广. 事实上, 基于相应超曲面的正则参数表示, 我们能够得到任给高阶代数微分方程的一个相伴微分系统. 此相伴微分系统是一阶自治的, 且关于一阶微分变元的次数为 1. 重要的是, 我们可以证明原高阶微分方程与其相伴微分系统的有理通解是一一对应的. 因此, 原问题被转化为计算相伴微分系统的有理通解, 而解决转化后的问题正是第四章的主要工作. 此外, 在给定相伴微分系统有理通解次数界的情形下, 我们给出一个判定该系统是否存在有理通解的准则. 我们还考虑一类特殊的相伴微分系统: 一阶线性多项式微分系统, 并研究这类系统有理解的形式以及有理通解的次数的界. 最后, 根据有理可解性, 我们讨论高阶微分方程的分类, 并分析四种特殊的二阶微分方程.

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